As Matemáticas e a lista da compra

Saber se nos van a chegar os cartos que levamos para facer a compra no supermercado é unha inquietude cotidiana, pois non sempre levamos a tarxeta ou se a levamos queremos ter control sobre o que gastamos a diario.

A propiedade distributiva a·(b+c) = a·b + a·c ou a·(b-c) = a·b - a·c e os números racionais son un estupendo recurso de cálculo mental.

1. Se un litro de leite custa 72 céntimos, ¿canto custará unha caixa de 12? Solución: 72·(10+2)=720+144 =864 cents = 8,64 €.
2. Algunhas veces convén facer cálculos aproximados, utilizando o exceso nalgún factor. Así no mesmo exemplo anterior: 75·(10+2)=750+150=900 cents = 9 €. Sempre e mellor que sobre a que falte.
   
3. Se recurrimos aos números racionais, que son aqueles que traballan con partes da unidade e se recordamos que 75 = (3/4) de 100, entón témolo chupado: Solución. (3/4)· 12 = (12:4)·3=9 €. Sáenos de contadiño a aproximación. Claro, que se en lugar de 75 fose 85 xa so cabería aplica-la distributiva.
4. Se queres elevar un número rematado en 5 ao cadrado, só tes que multiplicar as súas decenas polas decenas seguintes e engadirlle 25: Así 35·35 = 1225. O 12 sae de 3·4. ¿por que?. Pois pola distributiva, descúbreo.
5. Se queres multiplicar por 5, basta con dividir entre dous e desprazar a coma un lugar á dereita ou engadir un 0. Por que? ¡Ahhh...!
   
6. Se queres dividir entre 5, multiplicas por dous e despraza-la coma un lugar á esquerda. ¿Por que?. ¡Ahhh...!.
7. Se compras n productos de 4,99 €, multiplicas 5 por n e réstalle n céntimos. E se son de 4,95€, multiplicas por 5 e réstalle (n/2)/10 céntimos.
   
8. ¡Unha curiosidade!. Se queres sumar a lista da compra, suma a parte enteira e logo multiplica por 5 e dívídela entre 3, verás que non te alonxas moito do total. ( Aquí xa xogamos coa probabilidade que non todolos céntimos sexan superiores a 66).
   

Agora, imos cos números primos. Estes números son xeniales, serven para axilizar cálculos, como veremos a continuación porque só eles se bastan para obter calquer outro número, e para inventar claves, porque non é posible atopar fórmulas que nos calculen cales son os números primos. Por exemplo se tes que descompoñer 25848139 en factores primos para coller as letras do alfabeto que se corresponden cos díxitos do factor primo máis alto, e así ter unha clave, ainda vas suar un pouco se non dispós dunha boa calculadora. Pois ben, ti sabes que as calculadoras teñen un límite e, por conseguinte, os ordenadores tamén.

1. Se queres dividir un número entre 6, divídeo primeiro entre 2 e o resultado entre 3, porque 6 = 2·3. Para pasar de € a pts. é un método aproximado, sempre e cando lle engadas tres ceros ao final.
2. Se queres multiplicar por 15, primeiro por 3 e logo por 5. Tamén podes multiplicar por (10 +5), é dicir, engadir un cero e sumarlle a metade.
3. Procura buscar trucos de cálculo con estas técnicas e verás que é unha curiosa forma de discurrir.
   

Un detalle curioso do número 7. Se divides calquera número non múltiplo de 7 entre 7 terá seis cifras de período distintas entre sí e distintas do 3, 6 e 9 e, ademáis, escritas coa seguinte orde circular: 1, 4, 2, 8, 5, 7. É dicir, se a parte decimal empeza con 2 segue co 85714, se empezara co 5 seguiría con 71428. Así cada sete números repetimos período. ¡Este orde circular da que pensar!

Una timba para las fiestas o para pasar un rato.

El juego del 7 sumando las caras superiores de dos dados de parchís. En este juego un alumno puede hacer de banca permante, así recaudaría dinero para la fiesta, y los jugadores podrán entrar y salir del juego tantas veces como quieran; o formado un grupo de jugadores cada uno va haciendo de banca en cada lanzamiento hasta que todos los del grupo han hecho de banca el mismo número de veces.

Los jugadores se acomodan alrededor de una mesa sobre la que hai un diagrama con tres secciones:

1. Menos de 7


2. 7


3. Más de 7

En cada una de estas secciones habrá unos cuadraditos en donde cada jugador pone su apuesta.

Una vez realizadas las apuestas, cualquiera tira los dos dados. Si el resultado es mayor de siete el casino recoge las apuestas de menos de 7 y las de 7 y los jugadores que apostaron a más de 7 retiran lo apostado. De igual forma se procede si el resultado fuera menor de 7. Si el resultado es 7 entonces pierden los de menos y más y la banca paga el triple (o cuádruple) de lo apostado a los que apostaron al 7.

Recordemos que la banca siempre gana. ¿Qué pasaría si la banca decidiera pagar 5:1 a los de 7?. (Recordemos que al lanzar dos dados se presentan 36 sumas, no todas distintas).

La importancia de la bisectriz de un ángulo

Una casa de dos plantas tenía humedades en la pared lateral de subida de las escaleras y encima del zócalo. Estas manchas se podian ocultar cubriendo esta subida con azulejos, formando una franja de 1,20 m de anchura, empezando en la parte horizontal, luego la subida y a continuación la otra parte horizontal. En la parte superior de esta franja iría una cenefa artística paralela a la linea del zócalo y a 1,20 de éste. ¿Que dibujos previos tendrían que realizar los albañiles sobre la pared para efectuar correctamente su trabajo?.

En este ejercicio tendremos que utilizar la propiedad fundamental de las bisectrices de un ángulo. ¿Cómo trazarla, si los albañiles no suelen utilizar compás y sí utilizan escuadras, reglas, metro, ...?

Este método también se utiliza para pavimentar las aceras que forman ángulos, y se hace más interesante cuando con las losas del pavimento realizamos un mosaico.

El manejo de un programa geométrico como el Geogebra puede ayudar a la resolución del problema. Al mismo tiempo, los alumnos deben utilizar el papel y el lápiz para resolver el ejercicio.

Uno de escalas

Los componentes de una pareja deciden vivir juntos y desean comprar unha vivienda. Fueron a una agencia inmobiliaria y estudiaron los planos de unos pisos que se van a construir. Les gustó un piso de 78 m2 y planta rectangular, le pidieron una fotocopia del plano original, con escala 1:100, para revisarlo con más calma antes de tomar decisión alguna.

El empleado les hizo una fotocopia reducida al 80%, para que fuera más manejable. La pareja se puso a estudiar el plano fotocopiado, midió y midió y aplicando la escala 1:100 llegó a que la planta del piso era un rectángulo de 4,8 m. por 10,4 m. y la superficie era de 49,92 m2, muy distinto del 80% de los 78 m2.

¿Que está pasando?. ¿Como podemos resolverle esta situación, bastante habitual, a esta pareja?. ¿Cuáles son las dimensiones reales del piso?

Problema de progresiones aritméticas

Deseamos colgar una cortina en el riel de la habitación de tal manera que abra todo para un lado. El riel tiene 30 agujeros en los que hay que introducir los 30 ganchitos que se colocarán en 30 ojales de los 88 que tiene la cinta cosida a la cortina. Sabiendo que debe haber un gancho en el ojal 1 y otro en el ojal 88, ¿cuantos ojales libres deben quedar entre dos ganchos consecutivos para que todos los ganchos queden igualmente espaciados y así evitar frunces desiguales en la cortina?.

Los datos del ejercicio están pensados para que las cuentas salgan sin decimales, pero si en lugar de 88 ojales tuviera 90 o ... ¿qué soluciones darías para resolver estos casos?

Este ejercicio tiene por objeto potenciar la actitud de pensar y calcular sobre un papel antes de recurrir a las técnicas de ensayo y error.